Сначала установите VNC сервер на Raspberry Pi. Описана установка на Raspbian. В терминале дайте команду

sudo apt-get install tightvncserver

После установки запустите vncserver с первым виртуальным столом командой 

vncserver :1

Виртуальных столов может быть несколько. Система попросит ввести дважды пароль. На экране он не отображается. Запомните его, он понадобится при доступе к рабочему столу с другого компьютера. Рабочий стол запустится с параметрами по умолчанию, при необходимости можно указать конкретные значения, например [3, 57]
vncserver :1 -geometry 1280×800 -depth 16 -pixelformat rgb565

На вопрос Would you like to enter a view-only password? (Хотели бы вы ввести пароль только для просмотра?) ответьте n (no). Сервер сообщает, что запущен с первым виртуальным столом. На компьютере Windows, с которого вы хотите подключаться к рабочему столу Raspberry Pi, надо установить программу-клиент  vncviewer. Ее можно скачать с сайта разработчика realvnc.com
В меню Download выбрал vnc viewer для Windows 7 64 bit. Скачал VNC-Viewer-5.3.0-Windows-64bit.exe. Запускаем эту программу и появляется окно:

В поле VNC server укажите IP адрес Raspberry Pi в вашей локальной сети. Через двоеточие указывается номер виртуального рабочего стола, т.е. 1. Чтобы узнать IP адрес на Raspberry Pi в терминале введите команду

ifconfig

В ответном сообщении ищем строку с IP адресом Raspberry Pi. У меня он находится в секции wlan0, так как Raspberry Pi подключен по Wi-Fi и равен 192.168.1.32. Если вы подключили Raspberry Pi кабелем, то ищите IP адрес в секции eth0.

В поле Encryption выберите Prefer off (без шифрования). Нажимаем Connect.

В следующем окне выводится предупреждение, что соединение без шифрования. Поставьте галку Don't warn me about this again (Не предупреждать меня об этом снова). Нажимаем Continue (Продолжить).

В новом окне в поле Password вводим пароль, который указали при запуске vncserver. Происходит соединение и на экране рабочий стол вашего Raspberry Pi.

Можно пользоваться мышкой и открывать пункты меню. Щелкните по значку Закрыть в правом верхнем углу окна, чтобы закрыть окно.
Если вы установите ssh server на Raspberry Pi, то в паре с vnc сервером можно удаленно подключаться и работать на Raspberry Pi т.е. можно отключить от микрокомпьютера монитор, клавиатуру и мышь.
Как подключить ssh server, описано в статье Как подключиться к Raspberry Pi из Windows по ssh
В Windows запустите putty.exe и установите ssh-соединение с Raspberry Pi. У меня соединение происходит почему-то со второго раза, вначале выдается ошибка Network Error. Если ошибка остается, то в командной строке проверьте доступность хоста командой ping. После подключения запустите на Raspberry Pi vnc server с первым виртуальным столом командой

vncserver :1

 При нормальном запуске можно выйти из ssh-соединения командой exit. Теперь запустите VNC-Viewer-5.3.0-Windows-64bit.exe, как описано выше, и можете работать за рабочим столом Raspberry Pi. Но помните, что ssh-соединение шифруется, а vnc-подключение при таком раскладе не шифруется.
Vnc-подключение тоже часто устанавливается только со второго раза, видимо мой Wi-Fi работает нестабильно.

На компьютере Linux действуем аналогично. У меня установлен Linux Mint.
Первым делом проверьте, что на Raspberry Pi активирован SSH сервер. Запускаем raspi-config командой sudo raspi-config и пункте Advanced Options смотрим строку SSH, должен быть установлен флажок Enabled. Потом пробуем с компьютера Linux подключиться к Raspberry Pi по SSH. Даем команду ssh pi@<IP_адрес_Raspberry_Pi>. В моем случае это ssh pi@192.168.1.32. IP адрес можно узнать, подав команду hostname -I (прописная i). При первом подключении система попросит сгенерировать host key для файла known_hosts и предложит ввести команду (на скриншоте выделена белым цветом). Копируем команду в командную строку и жмем Enter. Система выводит сообщение о том, что файл обновлен. 

Снова пробуем подключиться по ssh. Система запрашивает подтверждение, вводим yes. При запросе пароля вводим raspberry, если вы его не меняли. Если все прошло удачно, вы увидите приглашение командной строки Raspberry Pi, т.е. pi@raspberrypi. Теперь уже на Raspberry Pi запускаем ранее установленный vnc сервер командой  vncserver :1
или же с параметрами, как указано выше. Дадим команду exit для выхода из SSH соединения. Появится приглашение командной строки компьютера Linux, устанавливаем vncviewer командой

sudo apt-get install xtightvncviewer

После чего можно подключиться к рабочему столу Raspberry Pi, запустив vncviewer на компьютере Linux:

vncviewer <IP_адрес_Raspberry_Pi>:1

В моем случае это vncviewer 192.168.1.32:1. 

При подключении система запросит пароль, который вы дважды указывали при запуске VNC сервера.

Рабочий стол Raspberry Pi при удаленном подключении:

Еще пара движений и вы можете подключиться к VNC серверу через SSH туннель, т.е. сделать соединение безопасным. Как это сделать, описано в статье Как подключиться к VNC серверу Raspberry Pi через SSH туннель.

Использованная литература.
1. Simon Monk Raspberry Pi Cookbook - O’Reilly Media, 2014 - 393 c.
2. Maik Schmidt Raspberry Pi: A Quick-Start Guide, 2nd Edition  - The Pragmatic Programmers, LLC, 2014 - 154 c.
3. Петин В. А. Микрокомпьютеры Raspberry Pi. Практическое руководство. СПб.:БХВ-Петербург, 2015. 240 с.